Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x² + y²  ≥ 9   

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

(x + y)² = x² + y² + 2xy ≤ x² + y² + x² + y² = 2

⇒ \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Vì 4x – 3y = 15 \( \Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x - 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 = {({5 \over 3}x - 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)

Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \) 

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {15^2} = {(4x - 3y)^2} \le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) \cr
& \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr} \)