Câu 5 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Hướng dẫn giải

Với \(a > 0, b > 0\), ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}} \Leftrightarrow {{a + b} \over {ab}} \ge {4 \over {a + b}} \cr&\Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0 \cr} \)

Ta thấy điều này luôn đúng

Vậy \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b\)