Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b > 0 thì: \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr& \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr
& \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - b)({a^2} - {b^2}) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}(a + b) \ge 0 \cr} \)

Điều suy ra luôn đúng.

Vậy  \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)