Câu 7 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

a) Chứng minh rằng a² + ab + b² ≥ 0 với mọi số thực a, b.

b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {a^2} + ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2a{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a + {b \over 2})^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr} \)

Ta thấy điều trên luôn đúng.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {a^4} + {b^4} \ge {\rm{ }}{a^3}b + a{b^3} \cr&\Leftrightarrow {a^4} - {a^3}b - a{b^3} + {b^4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {a^3}(a - b) - {b^3}(a - b) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - b)({a^3} - {b^3}) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}({a^2} + ab + {b^2}) \ge 0 \cr} \) 

Ta thấy rằng điều này luôn đúng.

Vậy a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³ với mọi a, b