Câu 3 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Hướng dẫn giải

Ta có:

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

⇔ a² + b² + c² – ab – bc – ca ≥ 0

⇔ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

⇔ (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ≥ 0 (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c