Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, dãy số nào bị chặn ?

* Hướng dẫn giải

Xét đáp án D ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{n + 2020}}\)

Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\) ta có:

\(\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{n + 2}}{{n + 2020}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\\ = \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 2019} \right) - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2020} \right)}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 2021n + 4038 - {n^2} - 2021n - 2020}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\ = \frac{{2018}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Do đó dãy số \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số tăng.

Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}} = 1 - \frac{{2018}}{{n + 2019}} < 1,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Do đó dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1.

 Lại có:

\(\begin{array}{l}n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2019 \ge 2020\\ \Leftrightarrow \frac{{2018}}{{n + 2019}} \le \frac{{2018}}{{2020}} = \frac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow  - \frac{{2018}}{{n + 2019}} \ge  - \frac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow {u_n} = 1 - \frac{{2018}}{{n + 2019}} \ge \frac{1}{{1010}}\end{array}\)

Do đó dãy số bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{{1010}}\).

Vậy dãy số \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số bị chặn.