Cho hình lăng trụ tam giác đều có \(AB = a\), cạnh bên \(AA' = (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ điểm \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {CA'B'}

* Hướng dẫn giải

Tam giác \(CA'B'\) cân tại \(C\) vì \(CA' = CB'\) (hai đường chéo của hai hình chữ nhật bằng nhau)

Gọi M là trung điểm của \(A'B'\).

Ta có: \(A'B' \bot CM\) và \(A'B' \bot C'M\) nên \(A'B' \bot \left( {CMC'} \right)\).

Trong \(\left( {CMC'} \right)\), kẻ \(C'H \bot CM\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}C'H \bot A'B'\\C'H \bot CM\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C'H \bot \left( {CA'B'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {C',\left( {CA'B'} \right)} \right) = C'H\).

Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(C'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(CMC'\) vuông tại \(C'\) nên:

\(\frac{1}{{C'{H^2}}} = \frac{1}{{C'{C^2}}} + \frac{1}{{C'{M^2}}}\)\( = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{16}}{{9{a^2}}}\)

\( \Rightarrow C'{H^2} = \frac{{9{a^2}}}{{16}} \Rightarrow C'H = \frac{{3a}}{4}\)

Vậy \(d\left( {C',\left( {CA'B'} \right)} \right) = \frac{{3a}}{4}\)