Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số giảm là

* Hướng dẫn giải

Đáp án A: sai vì \({u_1} = \sin 1 < \sin 2 = {u_2}\) nên dãy này không giảm.

Đáp án B:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \sqrt n  - \sqrt {n - 1} \\ = \frac{{n - \left( {n - 1} \right)}}{{\sqrt n  + \sqrt {n - 1} }}\\ = \frac{1}{{\sqrt n  + \sqrt {n - 1} }}\\{u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt n  + \sqrt {n - 1} }}\end{array}\)

Vì \(\sqrt {n + 1}  > \sqrt {n - 1} \) nên

\(\begin{array}{l}\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  > \sqrt n  + \sqrt {n - 1} \\ \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} < \frac{1}{{\sqrt n  + \sqrt {n - 1} }}\\ \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt n  + \sqrt {n - 1} }} < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\end{array}\)

Do đó dãy số giảm.

Đáp án C: sai vì đây là dãy đan dấu nên không giảm cũng không tăng.

Cụ thể: \({u_{2k}} = {2^{2k}} + 1 > 0,\) \({u_{2k + 1}} =  - \left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) < 0\).

Đáp án D: sai vì \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{5}{2} \Rightarrow {u_1} < {u_2}\).