Tìm m để phương trình x4-(3m+5) x2+(m+1)2=0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng.

* Hướng dẫn giải

Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là x₁, x₂, x₃, x₄. Đặt x² = y ≥ 0, ta được phương trình y² - (3m+5)y+(m+1)² = 0  (1)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < y₁ < y₂

Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là \({x_1} =  - \sqrt {{y_2}} ;{x_2} =  - \sqrt {{y_1}} ;{x_3} = \sqrt {{y_1}} ;{x_4} = \sqrt {{y_2}} \)

Theo đầu bài bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng, nên x₃+x₁ = 2x₂ và x₄+x₂ = 2x₃

\( \Leftrightarrow \sqrt {{y_1}}  - \sqrt {{y_2}}  =  - 2\sqrt {{y_1}}  \Leftrightarrow 3\sqrt {{y_1}}  = \sqrt {{y_2}}  \Leftrightarrow 9{y_1} = {y_2}\)

Áp dụng định lý Vi - ét cho phương trình (1), ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = {\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
S = {y_1} + {y_2} = 10{y_1} = 3m + 5\\
P = {y_1}.{y_2} = 9{y_1}^2 = {\left( {m + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10{y_1} = 3m + 5\\
9{y_1}^2 = {\left( {m + 1} \right)^2}
\end{array} \right. \Rightarrow m = 5
\end{array}\)