Các giá trị \(m \in \left[ {a;b} \right]\) để phương trình \(\cos 2x + {\sin ^2}x + 3\cos x - m = 5\) có nghiệm thì:

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\cos 2x + {\sin ^2}x + 3\cos x - m = 5\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + 1 - {\cos ^2}x + 3\cos x - m = 5\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x + 3\cos x - m - 5 = 0\)

Đặt \(t = \cos x\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}{t^2} + 3t - m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 3t + \frac{9}{4} = m + \frac{{29}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {t + \frac{3}{2}} \right)^2} = m + \frac{{29}}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} - 1 \le t \le 1\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le t + \frac{3}{2} \le \frac{5}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{4} \le {\left( {t + \frac{3}{2}} \right)^2} \le \frac{{25}}{4}\\ \Rightarrow \frac{1}{4} \le m + \frac{{29}}{4} \le \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow -7 \le m \le -1\\ \Rightarrow m \in \left[ {-7;-1} \right]\end{array}\)

Suy ra a=-7, b=-1 nên a+b=-8.

Chọn đáp án C.