Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.

* Hướng dẫn giải

a) Theo giả thiết, \(SI \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SI \bot AC\)

b) Gọi M là trung điểm AB, ta có:

\(\begin{array}{l}
MI = MB - IB = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{a}{6}\\
C{I^2} = C{M^2} + M{I^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{6}} \right)^2} = \frac{{28{a^2}}}{{36}}\\
 \Rightarrow CI = \frac{{a\sqrt 7 }}{3},SC = 2IC = \frac{{2a\sqrt 7 }}{3},SI = CI.\tan {60^2} = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}
\end{array}\)

Dựng điểm D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC. Vẽ IK vuông góc với AD, trong tam giác SIK vuông tại Ị vẽ IK là chiều cao của SIK.

Tam giác AIK vuông tại K có góc IAK bằng \(60^0\) nên:

\(IK = AI.\sin {60^2} = \frac{2}{3}a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác SIK vuông tại I có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{{\rm{I}}{{\rm{S}}^2}}} + \frac{1}{{I{K^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{3}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}}\\
 \Rightarrow IH = \frac{{a\sqrt {42} }}{{12}} \Rightarrow d\left( {BC,SA} \right) = \frac{3}{2}IH = \frac{3}{2}.\frac{{a\sqrt {42} }}{{12}} = \frac{{a\sqrt {42} }}{8}
\end{array}\)