Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA = a\sqrt 2 \).

* Hướng dẫn giải

a) Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AE\)

Từ \(AE \bot BC,AE \bot SB \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)\) 

Ta có \(CD \bot AD,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(CD \bot AF\)

Từ \(AF \bot CD,AF \bot SD \Rightarrow AF \bot \left( {SCD} \right)\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\
AB \subset \left( {ABCD} \right),AB \bot BC\\
SB \subset \left( {SBC} \right),SB \bot BC
\end{array}\)

Do đó \(\left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB,AB}} \right) = \widehat {SBA} = \alpha \)

Ta có \(\tan \alpha  = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2  \Rightarrow \alpha  \approx {54^0}44'\)

c) 

Gọi \(O = AC \cap BD,I = SO \cap {\rm{EF,K = AI}} \cap {\rm{SC}}\)

Ta được thiết diện là tứ giác AEKF

Vì \(AE \bot \left( {SBC} \right),AF \bot \left( {SCD} \right)\), nên \(AE \bot SC,{\rm{AF}} \bot {\rm{SC}} \Rightarrow {\rm{SC}} \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow AK \bot SC\)

Từ GT suy ra \(EF\parallel BD,BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow E{\rm{F}} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow {\rm{EF}} \bot {\rm{AK}}\)

Tam giác \( SAC\) vuông cân tại A mà \(AK \bot SC\) nên K là trung điểm của \(SC \Rightarrow AK = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = a\)