Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng và cạnh bên. Gọi O là tâm của đáy ABCD.

* Hướng dẫn giải

a) Ta có O là tâm ABCD mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra \(SO\bot (ABCD)\)

Vì \(\left. \begin{array}{l}
AC \bot BD\left( {do\,\,ABCD\,\,hv} \right)\\
AC \bot SO\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)
\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)

b) Ta có OC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) \( \Rightarrow \left[ {SC;\left( {ABCD} \right)} \right] = \widehat {SCO}\)

Tính \(AC = 2a \Rightarrow OC = a \Rightarrow \cos \widehat {SCO} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SCO} \approx {63^0}26'\)

c) Gọi M là trung điểm BC. Ta chứng minh được \(BC\bot (SOM)\)

Kẻ \(OH\bot SM\) tại H, ta chứng minh được \(BC\bot (SOM) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\)

Tính \(SO = 2a,OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Ta có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{2a}}{3}\)