Chứng minh rằng phương trình \({x^5} - 3{{\rm{x}}^4} + 5{\rm{x}} - 2 = 0\) có ít nhất ba nghiệm phân biệt.

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(f(x) = {x^5} - 3{{\rm{x}}^4} + 5{\rm{x}} - 2 \Rightarrow f\) liên tục trên R.

Ta có: \(f(0) =  - 2,\,\,f(1) = 1,\,\,f(2) =  - 8,\,\,\,f(4) = 16\)

\( \Rightarrow f(0).f(1) < 0 \Rightarrow PT\,\,\,f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({c_1} \in (0;1)\)

\(f(1).f(2) < 0 \Rightarrow PT\,\,\,f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({c_2} \in (1;2)\)

\(f(2).f(4) < 0 \Rightarrow PT\,\,\,f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({c_3} \in (2;4)\)

\( \Rightarrow PT\,\,\,f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).