a) Cho dãy số (un) xác định bởi : un = \(\frac{1}{{{2^n}}}\). Chứng minh (un) là cấp số nhân. Tìm u8, S11.

* Hướng dẫn giải

a) Xét \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}:\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{2} = q\)

Vậy dãy đã cho là cấp số cộng có \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = \frac{1}{2}\)

\({u_8} = {u_1}.{q^7} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} = \frac{1}{{256}}\)

\({S_{20}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{11}}}}{{1 - q}} = \frac{{2047}}{{2048}}\)

b) \({u_2} - {u_3} + {u_5} = 10 \Leftrightarrow {u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 10 \Rightarrow {u_1} + 3d = 10\)

Xét \(u_4  + u_3  = 17 \Leftrightarrow {u_1} + 3d + {u_1} + 2d = 17 \Rightarrow 2{u_1} + 5d = 17\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow d = 3;{u_1} = 1\)