Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC.

* Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên AB và K là trung điểm đoạn CD

Đặt \(BC = 3a > 0,\) suy ra \(AB = 6a,\;GH = 2a,\;HM = a.\)

 \(M{G^2} = 4{a^2} + {a^2} \Leftrightarrow \frac{{40}}{9} = 5{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{8}{9} \Leftrightarrow a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

Suy ra \(AM = 3a = 2\sqrt 2 , AG = \frac{2}{3}AK = \frac{2}{3}\left( {3a\sqrt 2 } \right) = \frac{8}{3}.\)

Gọi A(x;y). Khi đó

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{AM = 2\sqrt 2 }\\
{AG = \frac{8}{3}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {2 - y} \right)}^2} = 8}\\
{{{\left( {\frac{5}{3} - x} \right)}^2} + {y^2} = \frac{{64}}{9}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 3}\\
{x = 3y - 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3y - 1}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 0}\\
{y = \frac{8}{5}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 1,y = 0}\\
{x = \frac{{19}}{5},y = \frac{8}{5}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

+) Nếu A(- 1;0). Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với đường thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD là \(x + y + 1 = 0.\)

+) Nếu \(A\left( {\frac{{19}}{5};\frac{8}{5}} \right)\). Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với đường thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD là \(7x - y - 25 = 0.\)