Chứng minh phương trình (left( {{m^2} + 2m + 3} ight){left( {{x^3} + 3x - 4} ight)^3} + {m^2}x = 0) (1) có ít nhất một nghiệm v�

* Hướng dẫn giải

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2m + 3} \right){\left( {{x^3} + 3x - 4} \right)^3} + {m^2}x\)

Hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên R

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên [-1;1]

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = {m^2} \ge 0\\
f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 8} \right)^3}\left( {{m^2} + 2m + 3} \right) - {m^2} < 0
\end{array} \right\}\\
 \Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) \le 0,\forall m
\end{array}\)

\( \Rightarrow \exists {x_1} \in \left[ { - 1;1} \right]\) sao cho \(f(x_1)=0\)

Vậy pt (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.