Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, \(AB = a, \widehat {BAD} = {60^0},SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 3 \).

* Hướng dẫn giải

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là OK.

Tam giác SAC có \(SA = AC = a\sqrt 3 \). Gọi M là trung điểm SC

Suy ra \(OK = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{4}SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

b) Xác định SH là hình chiếu vuông góc của SA lên (SBD), suy ra góc

\(\widehat {\left[ {SA;\left( {SBD} \right)} \right]} = \widehat {ASH} = \widehat {ASO}\)

\(\tan \widehat {ASO} \Rightarrow \widehat {ASO} \approx {26^0}34'\)

c)  d[C;(SBD)] = d[A;(SBD)]

\(\begin{array}{l}
AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right] = AH\\
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}
\end{array}\)

d) \(\left[ {\left( {KBC} \right);\left( {OBC} \right)} \right] = \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = SIA\)

\(\begin{array}{l}
AI.BC = AC.BO = 2{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\
AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
\tan SIA = \frac{{SA}}{{AI}} = 2\\
\left[ {\left( {KBC} \right);\left( {OBC} \right)} \right] = \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = SIA \approx {63^0}26'
\end{array}\)