Cho hình chóp tứ giác S ABCD có mặt đáy (ABCD) là hình vuông tâm O, biết cạnh \(AC = 2a,SA = a\sqrt 3 \) và \(SA\bot (ABCD)\)a) C

* Hướng dẫn giải

a) Vì \(AC\bot BD\) (do ABCD là hình vuông) và \(SA\bot BD\) (do \(SA\bot (ABCD)\) )

\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)

b) Ta có AO là hình chiếu vuông góc của SO lên (ABCD) \( \Rightarrow \left[ {SO;\left( {ABCD} \right)} \right] = \widehat {SOA}\)

Tính \(AC = 2a \Rightarrow OA = a \Rightarrow \tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{OA}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SOA} = {60^0}\)

c) Kẻ AK vuông góc với SO tại K 

Ta chứng minh được \(AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right] = AK\)

Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{O^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) hoặc \(\sin \widehat {SOA} = \frac{{AK}}{{AO}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)