Chứng minh phương trình \(m{x^7} + {x^3} + 5{x^2} - mx - 1 = 0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(f(x)=m{x^7} + {x^3} + 5{x^2} - mx - 1\) liên tục trên R.

\(\begin{array}{l}
{\rm{f(0)}}{\rm{.f(1) =   -  1}}{\rm{.5  <  0}} \Rightarrow \exists {{\rm{x}}_1} \in (0;1):{\rm{f}}({x_1}) = 0\\
{\rm{f( - 1)}}{\rm{.f(0) =   - 1}}{\rm{.3  <  0}} \Rightarrow \exists {{\rm{x}}_2} \in ( - 1;0):{\rm{f}}({x_2}) = 0
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.