Tìm hệ số không chứa \(x\) trong các khai triển sau \({({x^3} - \frac{2}{x})^n}\), biết rằng \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) với \

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78 \)

\(\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 1)!1!}} + \frac{{n!}}{{(n - 2)!2!}} = 78\)

\( \Leftrightarrow n + \frac{{n(n - 1)}}{2} = 78 \)

\(\Leftrightarrow {n^2} + n - 156 = 0 \Leftrightarrow n = 12\).

Khi đó: \(f(x) = {\left( {{x^3} - \frac{2}{x}} \right)^{12}} \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{36 - 4k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(k:\)

\(36 - 4k = 0 \Rightarrow k = 9\)

Số hạng không chứa \(x\) là:

\({( - 2)^9}C_{12}^9 =  - 112640\)