Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCB là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB = 6, CD = 4.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D,\,\,C\) trên \(AB.\)

\(ABCD\) là hình thang cân \( \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}AH = BK;\,\,\,CD = HK\\AH + HK + BK = AB\end{array} \right. \Rightarrow \,\,BK = 1.\)

Tam giác \(BCK\) vuông tại \(K,\) có \(CK = \sqrt {B{C^2} - B{K^2}}  = \sqrt {{2^2} - {1^2}}  = \sqrt 3 .\)

Suy ra diện tích hình thang \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = CK.\frac{{AB + CD}}{2} = \sqrt 3 .\frac{{4 + 6}}{2} = 5\sqrt 3 .\)

Gọi \(N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(\left( P \right)\) và các cạnh \(SB,\,\,SC,\,\,SD.\)

Vì \(\left( P \right)\)//\(\left( {ABCD} \right)\) nên theo định lí Talet, ta có \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{QM}}{{AD}} = \frac{1}{3}.\)

Khi đó \(\left( P \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện \(MNPQ\) có diện tích \({S_{MNPQ}} = {k^2}.{S_{ABCD}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{9}.\)