Một đa giác lồi có n cạnh, biết số véctơ tạo từ các đỉnh của đa giác gấp 6 lần số đường chéo của đa giác ấ

* Hướng dẫn giải

Số vec tơ tạo thành từ n đỉnh của đa giác lồi là:

\(2.C_n^2\)

Số đường chéo của đa giác lồi n cạnh:

\(\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\) \(\left( {n \ge 3} \right)\)

Theo đề ta có:

\(\begin{array}{l}
2C_n^2 = 6.\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\\
 \Leftrightarrow 2.\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 3n\left( {n - 3} \right)\\
 \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 3{n^2} - 9n\\
 \Leftrightarrow 2{n^2} - 8n = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 0\left( l \right)\\
n = 4
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy đa giác lồi có 4 cạnh.