Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\cos x - 3\sin x + 4}}\) là:

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(y = \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\cos x - 3\sin x + 4}} \) \(\Leftrightarrow y\left( {\cos x - 3\sin x + 4} \right) = \sin x + 2\cos x + 1\)

\(\Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\cos x - \left( {3y + 1} \right)\sin x = 1 - 4y\)

Điều kiện có nghiệm: \({\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {3y + 1} \right)^2} \ge {\left( {1 - 4y} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow {y^2} - 4y + 4 + 9{y^2} + 6y + 1 \ge 1 - 8y + 16{y^2}\)

\(\Leftrightarrow 6{y^2} - 10y - 4 \le 0 \) \(\Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} \le y \le 2\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{{ - 1}}{3}\)