Cho hai cấp số cộng và . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên?

* Hướng dẫn giải

(a_n) là cấp số cộng có công sai \(d = 3 \Rightarrow {a_n} = 4 + 3\left( {n - 1} \right)\) là số hạng tổng quát của (b_n)

(b_n) là cấp số cộng có công sai \(d = 5 \Rightarrow {b_n} = 1 + 5\left( {n - 1} \right)\) là số hạng tổng quát của (b_n)

Suy ra \({a_n} = {b_n} \Leftrightarrow 4 + 3\left( {{n_1} - 1} \right) = 1 + 5\left( {{n_2} - 1} \right) \Leftrightarrow 5{n_2} - 3{n_1} = 5\)

Suy ra \(\left( {3{n_1}} \right) \vdots 5,\) đặt \(\left( {3{n_1}} \right) = 5x \Rightarrow x \vdots 3 \Rightarrow 5{n_2} = 5x = 5 \Leftrightarrow {n_2} - x = 1\)

\(1 \le {n_1} \le 100 \Rightarrow \frac{3}{5} \le x \le 60,x \vdots 3,x \in N \Rightarrow \) có \(\frac{{60 - 3}}{3} + 1 = 20\) giá trị x thỏa mãn.

Suy ra có 20 số xuất hiện trọng cả hai dãy số trên.