Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo

* Hướng dẫn giải

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là AA' = a,AB = b,AD = c và có đường chéo AC'.

Theo bài ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q = 2. Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} b = 2a\\ c = 4a \end{array} \right..\)

Mặt khác, độ dài đường chéo \(AC' = \sqrt {21} \Rightarrow AA{'^2} + A{B^2} + A{D^2} = 21 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21.\).

Ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} c = 2b = 4a\\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 2b = 4a\\ {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {4a} \right)^2} = 21 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 2b = 4a\\ 21{a^2} = 21 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2\\ c = 4 \end{array} \right..\)

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = abc = 8\)