Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị lớn nhất của biểu thức là . Hỏi có giá trị là

* Hướng dẫn giải

Ta có \(ac = {b^2}\) do đó

\({a^2}{b^2}{c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = \frac{{{b^2}{c^2}}}{a} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{c} = \frac{{ac{c^2}}}{a} + \frac{{{{\left( {{b^2}} \right)}^2}}}{b} + \frac{{{a^2}ac}}{c} = {a^3} + {b^3} + {c^3}.\)

Suy ra \(P = {a^2}{b^2}{c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) + \sqrt {4 - {{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}^2}} \)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + \sqrt {4 - {{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}^2}} = t + \sqrt {4 - {t^2}} = f\left( t \right)\)

Dùng đạo hàm ta tìm được \(\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \) nên \({x^3} + {y^3} = 16\).