Cho các số thực dương theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số thực dương

* Hướng dẫn giải

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} = {b_1} = a > 0}\\ {{a_n} = {a_1} + (n - 1)d;{b_n} = {q^{n - 1}}a(q > 0)} \end{array}} \right.\) và theo giả thiết có:

\({a_5} = \frac{{176}}{{17}}{b_5} \Leftrightarrow a + 4d = \frac{{176}}{{17}}{q^4}a \Leftrightarrow d = \frac{1}{4}\left( {\frac{{176}}{{17}}{q^4} - 1} \right)a.\)

Do đó \(\frac{{{a_2} + {a_3} + {a_4}}}{{{b_2} + {b_3} + {b_4}}} = \frac{{3a + 6d}}{{(q + {q^2} + {q^3})a}} = \frac{{3a + \frac{6}{4}\left( {\frac{{176}}{{17}}{q^4} - 1} \right)a}}{{(q + {q^2} + {q^3})a}} = \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{{176}}{{17}}{q^4} - 1} \right) + 3}}{{q + {q^2} + {q^3}}} \ge \frac{{48}}{{17}}.\)

Dấu bằng đạt tại \(q = \frac{1}{2};d = - \frac{3}{{34}}.\)