Cho cấp số nhân có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn Số tự nhiên n nhỏ nhất để là

* Hướng dẫn giải

Tất cả các số hạng đều dương nên công bội q > 0. Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l} {u_n} = {q^{n - 1}}{u_1}\\ \Rightarrow {u_1} + q{u_1} + {q^2}{u_1} + {q^3}{u_1} = 5\left( {{u_1} + q{u_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {q^3} + {q^2} + q + 1 = 5(q + 1)\\ \Leftrightarrow q = 2(q > 0). \end{array}\)

Vậy

\({u_n} = {2^{n - 1}}{u_1} > {8^{100}}{u_1}\\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} > {2^{300}}\\ \Leftrightarrow n - 1 > 300 \\\Leftrightarrow n > 301 \\\Rightarrow n \ge 302.\)