Cho dãy số (un) thỏa mãn và với mọi . Giá trị nhỏ nhất của n để bằng

* Hướng dẫn giải

Có \({u_{n + 1}} = 2{u_n} = {2^n}{u_1}\). Xét : \(\log {u_1} + \sqrt {2 + \log {u_1} - 2\log {u_{10}}} = 2\log {u_{10}}\)(*)

Đặt \(t = \log {u_1} - 2\log {u_{10}}\), điều kiện \(t \ge - 2\)

Pt (*) trở thành \(\sqrt {2 + t} = - t\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t \le 0\\ {t^2} - t - 2 = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow t = - 1\)

Với \(t = - 1 \Leftrightarrow \log {u_1} - 2\log {u_{10}} = - 1\) (với \(\log {u_{10}} = \log \left( {{2^9}.{u_1}} \right) = 9\log 2 + \log {u_1}\))

\( \Leftrightarrow \log {u_1} = 1 - 18\log 2 \Leftrightarrow {u_1} = {10^{1 - 18\log 2}}\)
Mặt khác \({u_n} = {2^{n - 1}}{u_1} = {2^{n - 1}}{.10^{1 - 18\log 2}} = {2^n}{.5.10^{ - 18\log 2}} > {5^{100}}\)
\( \Rightarrow n > {\log _2}\left( {{5^{99}}{{.10}^{18\log 2}}} \right) \approx 247,87\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 248.