Cho tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau: , trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp

* Hướng dẫn giải

Ta thấy tập hợp thứ n số nguyên liên tiếp, và phần tử cuối cùng của tập hợp này là \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.\)

Khi đó S_n là tổng của n số hạng trong một cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\), công sai d = -1: (coi số hạng cuối cùng trong tập hợp thứ n là số hạng đầu tiên của cấp số cộng này), ta có:

\({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {n\left( {n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)} \right] = \frac{1}{2}n\left( {{n^2} + 1} \right).\)

Vậy \({S_{999}} = \frac{1}{2}.999.\left( {{{999}^2} + 1} \right) = 498501999.\)