Cho hàm số: có đồ thị là M là điểm trên có hoành Tiếp tuyến của tại M cắt tại điểm khác

* Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_k}\left( {{x_k};{y_k}} \right)\) là \(y = {y_k} = y'\left( {{x_k}} \right)\left( {x - {x_k}} \right)\)

\(\Leftrightarrow y = y'\left( {{x_k}} \right)\left( {x - {x_k}} \right) + {y_k} = \left( {3x_k^2 - 2018} \right)\left( {x - {x_k}} \right) + x_k^3 - 2018{x_k}\,\,\,\,\,\left( d \right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến (d) là

\({x^3} - 2018x = \left( {3x_k^2 - 2018} \right)\left( {x - {x_k}} \right) + x_k^3 - 2018{x_k} \Leftrightarrow \left( {x - {x_k}} \right)\left( {{x^2} + {x_k}x - 2x_k^2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {x_k}\\ x = - 2{x_k} \end{array} \right.\)

 Do đó \({x_{k + 1}} = - 2{x_k}\) suy ra \({x_1} = 1;{x_2} = - 2;{x_3} = 4;...;{x_n} = {\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\) (cấp số nhân với q = -2)

Vậy \(2018{x_n} + {y_n} + {2^{2019}} = 0 \Leftrightarrow x_n^3 = {\left( { - 2} \right)^{2019}} \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{3n - 3}} = {\left( { - 2} \right)^{2019}} \Rightarrow n = 674\)