Cho dãy số (un) được xác định bởi ; . Công thức số hạng tổng quát

* Hướng dẫn giải

Ta có \({u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3n - 1\) \( \Leftrightarrow {u_n} + 3n + 5 = 2\left[ {{u_{n - 1}} + 3\left( {n - 1} \right) + 5} \right]\), với \(n \ge 2\); \(n \in N\).

Đặt \({v_n} = {u_n} + 3n + 5\), ta có \({v_n} = 2{v_{n - 1}}\) với \(n \ge 2\); \(n \in N\).

Như vậy, \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội q = 2 và v₁ = 10, do đó \({v_n} = {10.2^{n - 1}} = {5.2^n}\).

Do đó \({u_n} + 3n + 5 = {5.2^n}\), hay \({u_n} = {5.2^n} - 3n - 5\) với \(n \ge 2\); \(n \in N\).

Suy ra a = 5, b = -3, c = -5. Nên \(a + b + c = 5 + \left( { - 3} \right) + \left( { - 5} \right) = - 3\).