Cho dãy số thỏa mãn và với mọi Giá trị nhỏ nhất của để bằng bao nhiêu?

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\ln \left( {u_1^2 + u_2^2 + 10} \right) = \ln \left( {2{u_1} + 6{u_2}} \right)\\ \Leftrightarrow u_1^2 + u_2^2 + 10 = 2{u_1} + 6{u_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{u_1} - 1} \right)^2} + {\left( {{u_2} - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_2} = 3 \end{array} \right. \end{array}\)

Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với \(n \ge 1 \Rightarrow {v_1} = {u_2} - {u_1} = 2\).

Theo giả thiết: \({u_{n + 2}} + {u_n} = 2{u_{n + 1}} + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1\\ \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = {v_n} + 1,\forall n \ge 1 \end{array}\)

Suy ra (v_n) là cấp số cộng có công sai \(d = 1 \Rightarrow {v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = n - 3\).

Ta có: \({u_{n + 1}} = \underbrace {{u_{n + 1}} - {u_n}}_{{v_n}} + \underbrace {{u_n} - {u_{n - 1}}}_{{v_{n - 1}}} + ... + \underbrace {{u_3} - {u_2}}_{{v_2}} + \underbrace {{u_2} - {u_1}}_{{v_1}} + {u_1} = {S_n} + {u_1}\).

Với \({S_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \frac{n}{2}\left( {{v_1} + {v_n}} \right) = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\).

Suy ra: \({u_{n + 1}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1 \Rightarrow {u_n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} + 1\).

Ta có:

\({u_n} > 5050\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} + 1 > 5050 \\\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10096 > 0 \\\Leftrightarrow n > 101,99\)

Vậy số n nhỏ nhất thỏa yêu cầu là 102.