Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước.

* Hướng dẫn giải

Gọi r_i là khoảng cách lần rơi thứ i

Ta có \({r_1} = 81\), \({r_2} = \frac{2}{3}.81\),…, \({r_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.81\),…

Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng

\(81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{2}{3}}}\)

Gọi t_i là khoảng cách lần nảy thứ i

Ta có \({t_1} = \frac{2}{3}.81\), \({t_2} = \left( {\frac{2}{3}} \right).\frac{2}{3}81\),…, \({t_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}\frac{2}{3}.81\),…

Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến đến lần nảy thứ n bằng

\(\frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}\)

Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng

\(S = \lim \left( {81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{2}{3}}} + \frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}} \right) = 405\)