Cho dãy số (un) thỏa mãn và với mọi . Tìm u2018.

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\({u_1} = \sqrt 2 = 2\cos \frac{\pi }{4} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^2}}}\)

\({u_2} = \sqrt {2 - \sqrt 2 } = 2\cos \frac{\pi }{8} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^3}}}\)

Dự đoán: \({u_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\).

Chứng minh theo quy nạp ta có.

\({u_1} = 2\cos \frac{\pi }{4} = \sqrt 2 \), công thức (1) đúng với n = 1. Giả sử công thức (1) đúng với n = k, \(k \ge 1\) ta có \({u_k} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\).

Ta có:

\({u_{k + 1}} = \sqrt {2 + {u_k}} = \sqrt {2 + 2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}} = \sqrt {2\left( {1 + \cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}} \right)} = \sqrt {4{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}} \right)} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)

(vì \(0 < \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}} < \frac{\pi }{2}\) với mọi \(k \ge 1\)).

Công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy \({u_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\), \(\forall n \in N\). Suy ra \({u_{2018}} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{2019}}}}\).