Cho dãy số (un) thỏa mãn và . Đặt . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn .

* Hướng dẫn giải

Ta có dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có công sai d = 6.

\({\log _2}{u_5} + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {{u_9} + 8} = 11 \Leftrightarrow {\log _2}{u_5}\left( {{u_9} + 8} \right) = 11\) (*) với \({u_5} > 0\).

Mặt khác \({u_5} = {u_1} + 4d = {u_1} + 24\) và \({u_9} = {u_1} + 8d = {u_1} + 48\).

Thay vào (*) ta được \(\left[ \begin{array}{l} {u_1} = 8 \Rightarrow {u_5} = 32\\ {u_1} = - 88 \Rightarrow {u_5} = - 64 \end{array} \right.\). Suy ra \(u_1=8\).

\({S_n} \ge 20172018 \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] \ge 20172018 \Leftrightarrow 3{n^2} + 5n - 20172018 \ge 0\)

Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn \({S_n} \ge 20172018\) là n = 2593.