Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} ,\forall n \in {N^*}\). Tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_{1001}^2\) bằng

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} \) ta có \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2\).

Xét dãy số \({v_n} = u_n^2\) với \({v_n} = u_n^2\) ta có \({v_{n + 1}} = u_{_{n + 1}}^2 = u_n^2 + 2\) hay \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2\)⇒ dãy số (vn) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai d = 2.

Do đó

\(\begin{array}{l} S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_{1001}^2\\ = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{1001}}\\ = \frac{{1001\left[ {2.1 + \left( {1001 - 1} \right)2} \right]}}{2}\\ = 10002001 \end{array}\)