Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + mx + 2 - m = 0\) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.

* Hướng dẫn giải

\({x^3} - 3{x^2} + mx + 2 - m = 0\) (1)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ {x^2} - 2x - 2 + m = 0{\rm{ }}(2) \end{array} \right.\)

Phương trình (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi phương trình (2) có nghiệm \({x_1};{x_2}\) thoả mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} \le 1 \le {x_2}\\ {x_1} + {x_2} = 2 \end{array} \right.\)(Vì pt (2) nếu có nghiệm thì tổng các nghiệm là 2)

⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3.\)