Cho một cấp số cộng \(\left(u_{n}\right) \text { có } u_{1}=1\)1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính \(S=\frac{1}{u_{1} u_{2}}+\frac{1}{u_{2} u_{3}}+\ldots+\frac{1}{u_{49} u_...

* Hướng dẫn giải

Gọi d là công sai của cấp số đã cho Ta có:

\(S_{100}=50\left(2 u_{1}+99 d\right)=24850 \Rightarrow d=\frac{497-2 u_{1}}{99}=5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5 S=\frac{5}{u_{1} u_{2}}+\frac{5}{u_{2} u_{3}}+\ldots+\frac{5}{u_{49} u_{50}} \\ =\frac{u_{2}-u_{1}}{u_{1} u_{2}}+\frac{u_{3}-u_{2}}{u_{2} u_{3}}+\ldots+\frac{u_{50}-u_{49}}{u_{49} u_{50}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} =\frac{1}{u_{1}}-\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{2}}-\frac{1}{u_{3}}+\ldots+\frac{1}{u_{48}}-\frac{1}{u_{49}}+\frac{1}{u_{49}}-\frac{1}{u_{50}} \\ =\frac{1}{u_{1}}-\frac{1}{u_{50}}=\frac{1}{u_{1}}-\frac{1}{u_{1}+49 d}=\frac{245}{246} \\ \Rightarrow S=\frac{49}{246} \end{array}\)