Giả sử \(\frac{{\sin \alpha }}{6}\), \(\cos \alpha \), \(\tan \alpha \) theo thứ tự đó là một cấp số nhân. Tính \(\cos 2\alpha \).

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\cos \alpha \ne 0 \Leftrightarrow \alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in Z)\)

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

\({\cos ^2}\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{6}.{\mkern 1mu} \tan \alpha \Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}\)

\( \Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \end{array}\)

Ta có: \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{2}\).