Tính tổng : S = (2 + 1/2)^2 + (4 + 1/4)^2 + .... + (2^n + 1/2^n)

* Hướng dẫn giải

Ta có

$\begin{array}{l}S=\left(4+2+\frac{1}{4}\right)+\left(16+2+\frac{1}{16}\right)+\mathrm{...}+\left(2^{2n}+2+\frac{1}{2^{2n}}\right)\\ =\left(4+16+\mathrm{...}+2^{2n}\right)+2n+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{2n}}\right)\end{array}$

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

$\begin{array}{l}S=4.\frac{4^n-1}{4-1}+2n+\frac{1}{4}.\frac{\frac{1}{4^n}-1}{\frac{1}{4}-1}=4.\frac{4^n-1}{3}+2n+\frac{4^n-1}{{3.4}^n}\\ = 2n +\hspace{0.17em}\frac{4.(4^n-1).4^n+\hspace{0.17em}( 4^n-1)}{3.4^n}= 2n +\hspace{0.17em}\frac{(4^n-1).4^{n+1}+\hspace{0.17em}( 4^n-1)}{3.4^n}\\ =2n+\frac{\left(4^n-1\right)\left(4^{n+1}+1\right)}{{3.4}^n}\end{array}$

Chọn C