\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = a + b\sqrt 2 \,\,\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right).\) Tính \(a + b\).

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\( \Rightarrow \)  Hàm số liên tục tại \(x = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}\\ = \frac{{1 + \sqrt {{1^2} + 1} }}{{1 + 1}}\\ = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt 2 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\end{array}\)