Tìm hệ số của \({x^2}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} + x + 2} \right)^3}\) thành đa thức:

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + x + 2} \right)^3}\\ = \sum\limits_{k = 0}^3 {C_3^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{3 - k}}{{\left( {x + 2} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^3 {C_3^k{x^{6 - 2k}}\sum\limits_{l = 0}^k {C_k^l{x^l}{2^{k - l}}} } \end{array}\).

(với \(0 \le k \le 3;\,\,0 \le l \le 3;\,\,k,l \in \mathbb{Z}\))

Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển trên ứng với: \(6 - 2k + l = 2\)\( \Leftrightarrow 2k - l = 4\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 2;l = 0\\k = 3;l = 2\end{array} \right.\).

Vậy hệ số của \({x^2}\) trong khai triển trên là:  \(C_3^2C_2^0{2^2} + C_3^3C_3^2{.2^1} = 18\).