Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông; mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Vì tam giác SAB đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì \(AM//CD \Rightarrow AM//(SCD) \Rightarrow h = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)\)

Vì  \(MN//BC \Rightarrow MN \bot CD\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên SN.

\(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot MN\\ CD \bot SM \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot MH\)

\(\Rightarrow MH \bot \left( {SCD} \right)\)

\(MN = AB = BC = a\sqrt 3\)

\(SM = AB.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}\)

\(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{N^2}}} \Rightarrow SH = \frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}\)