Cho 4 số lập thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng

* Hướng dẫn giải

Đáp án là D

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄  và công sai là d

Ta có: u₂ = u₁ + d;  u₃= u₁ + 2d; u₄ = u₁ + 3d

Theo giả thiết ta có:
$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}{u}_1+\text{}{u}_2+\text{}{u}_3+u_4=22\\ u_1^2+\text{\hspace{0.17em}}{u}_2^2+\text{}{u}_3^2+\text{\hspace{0.17em}}{u}_4^2=\text{}166\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1+\text{}{u}_1+d+\text{}{u}_1+2d+u_1+\text{}3d=22\\ u_1^2+{(\text{\hspace{0.17em}}{u}_1+d)}^2+{(\text{}{u}_1+\text{}2d)}^2+\text{\hspace{0.17em}}{(u_1+\text{}3d)}^2=\text{}166\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}4u_1+\text{}6d=22\\ 4u_1^2+\text{}12u_{1}d+\text{}14d^2=166\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}2u_1+\text{}3d=11\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(1\right)\\ 2u_1^2+\text{}6u_{1}d+\text{}7d^2=83\left(2\right)\end{array}\right.\end{array}$

Từ (1) suy ra: $u_1=\frac{11-3d}{2}$ thế vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}2.{\left(\frac{11-3d}{2}\right)}^2+6.\frac{11-3d}{2}.d+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}7d^2=83\\ \iff \left[\begin{array}{c}d=3\Rightarrow u_1=1\\ d=-3\Rightarrow u_1=10\end{array}\right.\end{array}$

Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1

Tổng các lập phương của chúng: 

$1^3+4^3+7^3+{10}^3=1408$