Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt lập

* Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt $t=x^2,t\ge 0$.

Phương trình trở thành: $t^2-2\left(m+1\right)t+2m+1=0$         (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t₂ > t₁ >  0 .

$\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ P>0\\ S>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{\left(m+1\right)}^2-\left(2m+1\right)>0\\ 2m+1>0\\ 2\left(m+1\right)>0\end{array}\iff \right.-\frac{1}{2}<m\ne 0$

Khi đó PT (2) có bốn nghiệm là: $-\sqrt{t_2};-\sqrt{t_1};\sqrt{t_1};\sqrt{t_2}$ 

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : 

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_1}=-2\sqrt{t_1}\\ -\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=2\sqrt{t_1}\end{array}\right.\\ \iff \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1}\\ \iff t_2=9t_1\end{array}$

Theo định lý viet thì :$\left\{\begin{array}{c}{t}_1+t_2=2\left(m+1\right)\\ t_1{t}_2=2m+1\end{array}\right.$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{t}_1+9t_1=2\left(m+1\right)\\ t_{1}9t_1=2m+1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}10t_1=2\left(m+1\right)(*)\\ 9t_1^2=2m+1(**)\end{array}\right.\end{array}$.

Từ (*) suy ra:$5t_1=m+\text{}1\iff m=5t_1-1$ thay vào (**) ta được:

$\begin{array}{l}9t_1^2=2(5t_1-1)\text{}+1\\ \iff 9t_1^2-10.t_1+\text{}1=0\\ \iff \left[\begin{array}{c}{t}_1=\frac{1}{9}\Rightarrow m=\frac{-4}{9}\\ t_1=1\Rightarrow m=4\end{array}\right.\end{array}$

Vậy m = 4 hoặc $m=-\frac{4}{9}$ là những giá trị cần tìm