Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x bằng x không

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

(1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm $x=x_0$thì f(x) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số f (x) liên tục tại điểm $x=x_0$ thì f(x) có đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm $f\left(x\right)=\left|x\right|$ ta có D= R nên hàm số f(x) liên tục trên R.

Nhưng ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x-0}{x-0}=1\\ \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x-0}{x-0}=-1\end{array}\right.$

Nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) Nếu f(x) gián đoạn tại $x=x_0$ thì chắc chắn f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f(x)  không liên tục tại $x=x_0$ thì f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.