Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a.

* Hướng dẫn giải

+ Ta có $\left.\begin{array}{l}DB\perp AC\\ DB\perp SA\end{array}\right\}\Rightarrow DB\perp \left(SAC\right)\Rightarrow DB\perp SO$ tại O

 Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC) là SO

Do đó góc giữa SD và (SAC) là $\widehat{DSO}=30°$

+ Đặt DO = x $\Rightarrow$ DB = 2x; AO = BO = CO = x

Ta có: $\Delta SAB=\Delta SAD\left(c.g.c\right)$ nên SB = SD $\Rightarrow$ Tam giác SBD cân tại S, mà có O là trung điểm BC $\Rightarrow \widehat{ DSB}=2\widehat{DSO}=60°$ 

Tam giác SBD đều $\Rightarrow$ SO = 2x $\frac{\sqrt{3}}{2}$= x$\sqrt{3}$

Theo Py-ta-go trong tam giác SOA vuông tại A, ta có: $S{O}^2=A{O}^2+S{A}^2$

hay $3x^2 = x^2+\hspace{0.17em}{a}^2\iff x^2= a^2/ 2$

$\Rightarrow$x =$\frac{a}{\sqrt{2}}$

+ Gọi N là trung điểm của AB $\Rightarrow$DN // BM

Suy ra d(D; (SBM)) = d(N;(SBM)) = 1/2 d(A; (SBM))

+ Kẻ AI $\perp$BM tại I và AH $\perp$ SI tại H. Từ đó ta chứng minh được AH $\perp$ (SBM)

 $\Rightarrow$ d(A; (SBM)) = AH $\Rightarrow$ d(D; (SBM)) = 1/2 AH.

+ Tính AH

$BM = \sqrt{B{C}^2 +\hspace{0.17em}C{M}^2}= \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Trong (ABCD): $S_{ABM}=S_{ABCD}-2S_{ADM}=a^2-2.\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$

Mà $S_{ABM}=\frac{1}{2}$AI. BM  $\Rightarrow$AI = $\frac{2a}{\sqrt{5}}$

Áp dụng hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông SAI có:

   $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{I}^2}+\frac{1}{S{A}^2}\Rightarrow$AH = $\frac{2a}{3}$

Vậy d(D; (SBM)) = 1/2. AH = $\frac{a}{3}$

Đáp án A