Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên SBC

* Hướng dẫn giải

+ Gọi H là trung điểm của BC

Do tam giác ABC cân tại A nên AH $\perp$BC, tam giác SBC đều nên SH $\perp$BC

Mà (SBC) $\perp$(ABC)

Do đó SH $\perp$(ABC)

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA$\Rightarrow$ HK$\perp$SA

Ta có $\left.\begin{array}{l}BC\perp SH\\ BC\perp AH\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp \left(SAH\right)$$\Rightarrow BC\perp HK$

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA, do đó khoảng cách giữa BC và SA là HK.

+ Tính HK

Tam giác SBC đều cạnh a $\Rightarrow$ SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC vuông cân tại A $\Rightarrow$ AH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Tam giác SHA vuông tại H có HK là đường cao $\Rightarrow \frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{A{H}^2}$ 

HK = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Vậy d(SA; BC) = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Đáp án C